En todo sistema lógico, tanto clásico como no clásico, las reglas de inferencia son el conjunto de normas o esquemas que permiten obtener legítimamente un enunciado, la conclusión, a partir de una serie previa de enunciados, las premisas. En otras palabras, son esquemas que permiten construir inferencias lógicas válidas. En este artículo se hace un repaso por las principales reglas de inferencia de la lógica clásica, presuponiendo que el lector está familiarizado con su notación y con los operadores de dicha lógica, y el artículo se centrará en el aspecto sintáctico de las reglas lógicas, es decir, en la derivabilidad, no en la consecuencia lógica, que corresponde a su aspecto semántico.

Las reglas que se van a ver a continuación se aplican a la lógica de predicados, también llamada lógica proposicional, la más sencilla de todas.

El modus ponens

Esta regla es una de las más básicas y útiles en la deducción lógica. Básicamente la regla parte de dos premisas, "p" y "p implica q" (escrito p --> q), para llegar a la conclusión de que "q". También puede reformularse diciendo que afirma que, si tenemos "p" y tenemos "si p, entonces q", como conclusión obtenemos "q".

El modus tollens

Esta regla puede verse en ciertos aspectos como la complementaria de la anterior. Afirma que si tenemos como premisas "p implica q" y "no q", entonces obtenemos como conclusión que "no p". Dado que no tenemos la consecuencia de la implicación (q), no podemos tener el antecedente de la misma (p). En otras palabras, si tenemos "no q" y aceptamos que "p implica q", entonces "p" queda refutado.

Esta regla tiene interés en el campo de la filosofía de la ciencia porque es la base del falsacionismo de Popper. Para este autor, las hipótesis científicas nunca pueden ser verificadas por las evidencias empíricas, pero sí refutadas por ellas. Si contamos con una observación (no q) y tenemos una hipótesis p la cual predice que debería darse q, entonces la observación de no q refuta la hipótesis p.

El silogismo hipotético

Se trata de un encadenamiento de implicaciones. Si tenemos "p implica q" y al tiempo "q implica r", como conclusión tenemos que "p implica r". Hay que hacer notar, no obstante, que en todo momento tanto las premisas como la conclusión se refiere a situaciones hipotéticas, de ahí el nombre, por lo que es posible construir silogismos hipotéticos válidos con premisas p, q y r que no son ciertas, al menos dentro de la lógica clásica. Este problema de los condicionales contrafácticos requeriría un tratamiento aparte.

El silogismo disyuntivo (o modus tollendo ponens)

Este afirma que si tenemos como una de las premisas "a o b" y como otra de las premisas "no a" o "no b", obtenemos como conclusión la premisa no negada; respectivamente, "b" si tenemos "no a" y "a" si tenemos "no b".

Es fácil de ver intuitivamente por qué es así. Tenemos como cierta la conjunción de dos premisas. Si una de ellas es falsa, ha de ser cierta la otra.

El modus ponendo tollens

Esta regla afirma que si tenemos "o bien a o bien b", es decir, una disyunción exclusiva entre ambas premisas, y tenemos una de ellas, pongamos por caso "a", como conclusión se obtiene que la otra no es cierta, en el ejemplo propuesto "no b".

Es también fácil de ver el motivo de esto. Puesto que tenemos dos alternativas excluyentes, si contamos con una como cierta, la otra forzosamente ha de ser falsa.

Análogamente existe la regla complementaria; "o bien a o bien b" junto con "no a" da como conclusión que "b", por las razones expuestas en el párrafo anterior.

Simplificación disyuntiva

Si se tiene que "p implica r" y que "q implica r" y que "p o q", se obtiene como conclusión que "r". Ya que se da o bien p o q, o tal vez ambos, en ambas situaciones se puede concluir que r.

Adjunción y simplificación. La conjunción de premisas

Si tenemos dos premisas cualesquiera, "a" y "b", se obtiene como conclusión que "a y b", y a esto se le llama adjunción. Invirtiendo el esquema, partiendo de "a y b" como premisa pueden obtenerse dos conclusiones válidas, "a" o "b", como se prefiera, esto es la simplificación de la conjunción.

El caso de la disyunción y el caso de la ley de la adición

Podría pensarse a primera vista que el caso de la disyunción ha de ser similar, pero no es así. Es cierto que de las premisas "a" y "b" se puede obtener como conclusión la disyunción de ambas, "a o b", esto es la ley de la adición, pero el camino inverso no es posible hacerlo. De "a o b" no podemos deducir, si no tenemos premisas adicionales que nos sirvan, ni la verdad de "a" ni la de "b".

La conmutatividad de la conjunción y la disyunción

Tanto la conjunción de premisas como su disyunción presentan la propiedad conmutativa. Así, "p o q" implica "q o p", e igualmente "p y q" implica "p y q". La implicación, en cambio, no es conmutativa.

Doble negación

De "p" podemos inferir que "no es cierto que no p", o simplificar "no no p" como "p" a secas.

Leyes de Morgan

Estas leyes permiten transformar la negación de una conjunción o disyunción de premisas respectivamente en la negación de la disyunción o conjunción de la negación de dichas premisas, y también el caso reverso. Así, de "p o q" obtenemos "no es cierto que no p y no q", y el esquema puede invertirse. Igualmente puede sustituirse el "o" por el "y" y viceversa.