La teoría elemental de conjuntos o teoría ingenua (naïve) de conjuntos fue desarrollada en el siglo XIX principalmente por Dedekind y Cantor o Frege con el fin de sentar los fundamentos de las matemáticas sobre la lógica y las nociones primitivas de elemento y conjunto. Lamentablemente, pese a la originalidad e ingenio mostrados en esta formulación, esta primera teoría de conjuntos abocaba a determinadas paradojas relacionadas con la autorreferencialidad, como señaló Bertrand Russell, y otras semejantes como la paradoja de Burali-Forti. Esto motivó que varios autores fuesen en la búsqueda de una teoría de conjuntos más rigurosa que no llevase a paradojas como la mencionada.

Algunos primeros intentos

Russell fue uno de los primeros en proponer como alternativa a la teoría ingenua de conjuntos lo que él llamaría "teoría de los tipos", expuesta en su Principia Mathematica. Brevemente, para evitar que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo, se trata de establecer una jerarquía de conjuntos o tipos, de modo que cada tipo solo puede contener como elementos a tipos de rango inferior. Pese a todo, no dejaba de ser una solución artificiosa; al tiempo que evitaba los problemas de la autorreferencialidad, también impedía casos de autorreferencialidad no paradójicos.

La axiomatización de la teoría de conjuntos

Para evitar las paradojas mencionadas, otra solución que seguirán varios autores será la de crear un sistema axiomatizado riguroso, que evite las paradojas. En estos sistemas axiomatizados, conceptos que en la teoría elemental aparecían como evidentes se justificarán, al tiempo que se mostrará que algunas ideas que estaban implícitas en la teoría ingenua de conjuntos, como que toda propiedad determina un conjunto, estaban erradas.

Hay varias axiomatizaciones posibles. Aquí se verá la llamada ZFC por sus autores Zermelo y Fraenkel. Otra axiomatización es la de von Neumann, Bernays y Gödel.

Los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC

  1. Axioma de extensionalidad. Afirma que dos conjuntos son iguales, es decir, el mismo conjunto, si y solo si poseen los mismos elementos.
  2. Axioma del conjunto vacío. Afirma que existe un conjunto sin elementos, llamado el conjunto vacío. De este modo, el universo de los conjuntos no es vacío, pues consta al menos de un elemento.
  3. Axioma de pares. Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto cuya extensión son dichos conjuntos, es decir, {A, B}.
  4. Axioma de unión. Dada una serie de conjuntos C, existe un conjunto llamado "unión de C" formado por todos los elementos pertenecientes a cada uno de los conjuntos que están en C.
  5. Axioma del conjunto de partes. Dado un conjunto A, existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, incluido A mismo y el conjunto vacío, y a este se le denomina conjunto de partes o conjunto potencia de A, P(A) o Pot(A) según la notación.
  6. Esquema de los axiomas de especificación. Si f(x) es una fórmula lógica de primer orden que contiene como variable libre a x, para cualquier conjunto A existe un subconjunto formado por los elementos de A que cumplen f(x), aunque este conjunto puede ser vacío. Como se ve, este es no un axioma, sino un esquema para una infinidad de axiomas. El mérito de este esquema es que evita la paradoja de la autorreferencia, pues evita el suponer que la propiedad indicada por f(x) sin más implica un conjunto que cumpla dicha propiedad; así pues, es una forma debilitada de la suposición ingenua fregeana que causó la paradoja señalada por Russell.
  7. Esquema de los axiomas de reemplazo. Si g(a,b) es una fórmula tal que para todo a en un conjunto A existe un conjunto B tal que existen elementos b en B que cumplen g(a,b), entonces existe una función f tal que f(a) = b. Este esquema permite extender la cuenta de conjuntos con una cardinalidad mayor de lo que permite el axioma de infinitud.
  8. Axioma de infinitud. Existe un conjunto I del cual forma parte el conjunto vacío y que además, si un conjunto A está en dicho conjunto I, entonces la unión de A con {A} está en I. Este conjunto es infinito, por tanto, permite crear una jerarquía sucesiva de infinitos conjuntos que puede ponerse en biyección con los números naturales.
  9. Axioma de regularidad o de fundación. Para todo conjunto no vacío existe otro conjunto que está en él tal que la intersección de ambos es el conjunto vacío. En algunos sistemas axiomáticos este se omite, son los sistemas axiomáticos no bien fundados.
  10. Teorema del buen orden, teorema de elección, teorema del buen orden, lema de Zorn, axioma de elección, axioma multiplicativo y otros nombres. Para todo conjunto no vacío e inductivo hay un elemento maximal. Este teorema puede ser formulado de muchas otras formas. Por ejemplo, afirmando que dada una serie de conjuntos no vacíos, es posible formar un conjunto tomando un elemento de cada uno de ellos. Como se ve, no determina un único conjunto, sino que puede hacerse, por lo que se dice que no es constructivo. Este axioma merecería otro artículo por sí solo tanto por su riqueza como por lo discutido que ha sido.