En general, las matemáticas pueden ser una tarea árida y ardua para el lector poco acostumbrado, pero al igual que con cualquier otro idioma, al profundizar en su conocimiento y sus reglas, se descubre la belleza en la sencillez de algunas de sus ecuaciones.

¿Por qué necesitamos los números?

"No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real." (Nicolai Lobachevski)

Contar requiere de números naturales, las transacciones comerciales introducen el concepto de débito, aunque los números negativos (descubiertos en la India en torno al siglo VI a.C.) no fueron plenamente aceptados hasta el siglo XVII (Simon Stevin), mientras la división de tierras o herencias llevó a los egipcios a introducir los racionales (como fracciones, aunque el símbolo de la barra horizontal fue empleado por primera vez por Fibonacci en el siglo XIII) en torno al 1000 a.C.

El cero tuvo que esperar hasta el siglo III a.C para ser introducido por los Griegos en Europa (su símbolo procede, probablemente, de la palabra “oudos”, vacío) y por los Olmecas en América por la misma fecha. Aunque el concepto actual y su notación procede de la India, en una fecha anterior. La unión de los naturales, los negativos y el cero da lugar a los números enteros, llamados así porque hacen referencia a cantidades de entidades no divisibles (personas por ejemplo).

Sin embargo, la teoría de números actual cuenta con una serie de conjuntos numéricos que han ido surgiendo de cuestiones menos evidentes.

Los inconmensurables o irracionales (Eudoxo de Cnido, siglo IV a.C.) desafiaron la concepción matemática de los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado uno con su famoso teorema, y junto con los racionales constituyen el conjunto de los números reales. Los irracionales más conocidos son π, e y el número áureo φ. Euler definió, en 1777, los números imaginarios con la base i (raíz cuadrada de -1) y dio lugar a los números complejos (con aplicaciones en mecánica cuántica, ingeniería, electrónica y telecomunicaciones), solucionando así el problema de las ecuaciones sin raíces reales. Los números complejos son, por tanto, una extensión de los reales (sistematizados por Dedekind y Cantor en el siglo XIX).

De la misma forma, Hamilton creó en 1843 los cuaterniones como una nueva extensión de los números reales en cuatro dimensiones, al definir las nuevas unidades imaginarias i, j y k, cuyos productos pueden verse en la tabla de Cayley. Sus aplicaciones pasan por la teoría de la Relatividad, el electromagnetismo, etc.

Números especiales con nombre propio

Los matemáticos de todas las épocas se han ocupado de forma recurrente al estudio de la teoría numérica, dando como resultado conjuntos con nombres propios.

Algunos tienen una utilidad fundamental en el propio desarrollo de las matemáticas. Tenemos así los números primos, cuyos divisores son solo él mismo y el 1, impares todos excepto el 2, y con una gran cantidad de subconjuntos importantes. Fermat fue el primero en estudiarlos, tras los griegos, definiendo uno de tales subconjuntos ligado a la construcción de polígonos regulares con regla y compás. Otro caso importante son los números primos de Wall-Sun-Sun (o de Fibonacci-Wieferich), de los cuales no se conoce todavía ninguno, pero que han estado ligados a la demostración del famoso último teorema de Fermat.

Los números hiperreales (del análisis no estándar desarrollado en los años 70 por Abraham Robinson), los infinitos, o los transfinitos (Georg Cantor) se hacen necesarios en ramas de las matemáticas desconocidas para el público general. No obstante, los más recurrentes e importantes son los números trascendentales como π, involucrado en el problema de la cuadratura del círculo, e, y Ω.

Nicómaco de Gerasa clasificó a los números naturales en función de la suma de sus divisores en deficientes, perfectos, o abundantes. Todos los números perfectos conocidos, los factoriales (utilizados en combinatoria) distintos a la unidad, y los primordiales (producto de los primos menores a él) son pares. Aún podríamos mencionar los números amigos (Al Madshritti) y los sociables (Pouchet).

Por otra parte, hay otros números que cumplen propiedades curiosas pero sin utilidad matemática, como los números narcisistas (número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos), los omirp (número primo que resulta de invertir las cifras de otro número primo), o los vampiro (se calculan a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos).

Asimismo, determinados números se constituyen en constantes físicas, apareciendo en algunas de las ecuaciones fundamentales que rigen el comportamiento del Universo: las constantes de Plank (h), Boltzmann (k), la velocidad de la luz (c) o la gravitación universal (G).

La belleza del lenguaje matemático

Todos aquellos que aseguran que las ciencias matemáticas no dicen nada de la belleza se hallan en un error. Las formas fundamentales de la belleza son el orden, la conmensurabilidad y la precisión.” (Aristóteles, "Metafísica", libro XIII).

En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron, a instancias de David Wells, las 25 fórmulas matemáticas más bellas de la historia. En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.

La primera fue la función exponencial para números complejos (relacionada también con las funciones trigonométricas), denominada Identidad de Euler. Según Feynman, ésta es «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las constantes fundamentales 0 (identidad aditiva), 1 (identidad del producto), e (base de los logaritmos naturales o neperianos), i (unidad imaginaria) y π (constante circular).

El teorema de los poliedros fue considerado la segunda ecuación más bella. V + F = E + 2, donde V son los vértices, E las aristas y F las caras. En la quinta posición quedó la serie infinita de sumas que proporciona el valor de π.