Cuando se habla de sistemas formales en lógica, nos referimos a conjuntos de proposiciones bien formadas (fórmulas bien formadas, fbf's) según las reglas de la lógica de primer orden. Existen determinadas propiedades de dichos conjuntos pueden poseer, según sean las fórmulas que lo compongan. Aquí se examinan dos de ellas, la completud y la consistencia, y se hará énfasis en las razones por las cuales dichas propiedades pueden resultar interesantes, o más bien importantes, para los lógicos.

Para una mayor comprensión de lo que viene a continuación, hay que aclarar que como norma general, los conjuntos se denotan con letras mayúsculas, tanto del alfabeto griego como del abecedario latino, mientras que para las fórmulas se usan letras minúsculas.

También se presupone que el lector, además de conocer la notación lógica, está familiarizado con la idea de regla de inferencia, en especial el modus ponens.

La deducción lógica

Se dice que una proposición α se deduce de un conjunto de proposiciones Σ si es posible en un número finito de pasos llegar a la conclusión α a partir de algún subconjunto de proposiciones en Σ. Se escribe, en notación matemática, como Σ ? α, y se puede leer como que "sigma implica lógicamente alfa" o también "alfa es teorema de sigma".

Consistencia

Un conjunto de proposiciones Σ es consistente si no existe ninguna proposición del lenguaje tal que ella y su negación sean deducibles a partir del conjunto considerado. Si se da tal situación de consistencia, puede que para una proposición determinada se dé el caso de que sea deducible del sistema o que no.

En cambio, si para cualquier proposición del lenguaje formal tanto ella como su negación son deducibles del sistema, se dice que este es inconsistente; es decir, para una fórmula α cualquiera, en notación matemática Σ ? α y al tiempo Σ ? ¬α (el signo ¬ indica la negación). Siempre dentro de la lógica clásica, un sistema inconsistente está en el peor de los casos, es decir, colapsa, y en ese caso es posible deducir de él cualquier proposición, con lo cual se puede afirmar que la inconsistencia es totalmente indeseable en un sistema lógico.

Completud

Un conjunto de proposiciones se dice que es completo si para toda proposición α formable en el lenguaje dado, o bien ella o bien su negación son deducibles a partir del conjunto. Es decir, formalmente o bien Σ ? α o bien Σ ? ¬α. Esta es una característica deseable para un sistema de proposiciones, pero no siempre se da.

En caso de que no se dé la situación de que para cualquier fórmula bien formada del lenguaje sea posible deducir lógicamente dicha fórmula o su negación, se dice que el sistema es incompleto, una característica en principio poco deseable, pero no necesariamente mala como sí lo es la consistencia.

Comparación entre la completud y la consistencia

Tanto la consistencia como la completud son características deseables en un sistema de proposiciones, y sin embargo no siempre es posible conseguir sistemas que cumplan ambas propiedades. La consistencia es preferible a la completud, ya que el conjunto de consecuencias de un sistema inconsistente es la totalidad de las proposiciones formalizables en el lenguaje dado. Algunos sistemas formales, como el de la aritmética de los números naturales, son incompletos, es decir, existen proposiciones verdaderas formulables en el lenguaje lógico apropiado que sin embargo no forman parte del conjunto de consecuencias de los axiomas, es decir, que aun siendo ciertas no son deducibles lógicamente a partir de los axiomas de la aritmética, como probó Kurt Gödel.

Teorías

Otra forma de expresar todo lo anterior es recurrir a la noción de teoría en su sentido matemático. Una teoría es un conjunto de proposiciones tal que es cerrado para las consecuencias, es decir, que incluye todas las consecuencias posibles a partir de sus axiomas. Si Σ es dicho conjunto y Cn Σ el conjunto de consecuencias deducibles a partir de Σ, se cumple que Σ = Cn Σ, por eso se dice que es cerrado.

Una teoría es completa si dada una fórmula cualquiera del lenguaje, o bien ella o su negación pertenecen a dicha teoría, es decir, si en un número finito de pasos es posible demostrar que cualquier proposición o bien pertenece o bien no pertenece a la teoría deduciéndose lógicamente a partir de un subconjunto no vacío de proposiciones de Σ. Otra forma de expresarlo es que para toda fórmula α, α ∈ Σ o ¬α ∈ Σ.

Igualmente, si una teoría es inconsistente, entonces toda proposición del lenguaje formalizado pertenece a dicha teoría, α ∈ Σ y ¬α ∈ Σ para toda α.